بازار آنلاین

فصل دوم: ارزش زماني پول

اهداف رفتاري:

دانشجو بايد بتواند پس از مشاهده اين برنامه ها بتواند:

1 - نحوه محاسبه ارزش فعلي و ارزش آتي يك قسط را بداند.

2 - نحوه محاسبه ارزش فعلي چند قسط مساوي را بداند. 

3 - نحوه محاسبه ارزش آتي چند قسط مساوي را بداند.

دليل وجود ارزش زماني براي پول

 وجود بهره در اقتصاد، موجب مي شود که پول ارزش زماني داشته باشد؛ يعني يک واحد پولي که امروز دريافت مي شود بيش از يک واحد پولي که در آينده دريافت خواهد شد ارزش داشته باشد.

•ارزش آتي يك قسط

    اگر نرخ بهره سالانه 10 درصد باشد، 1000 واحد پولي امروز يک سال بعد 1100 واحد، 2 سال بعد 1210 واحد و 5 سال بعد 1610 واحد مي ارزد.

1100 = ( 10% + 1 ) 1000

1210 = 2(10% + 1 ) 1000

1331 = 3(10% + 1 ) 1000

1464 = 4(10% + 1 ) 1000

1610 = 5(10% + 1 ) 1000

بنا براين رابطه کلي زير همواره وجود دارد:

در رابطه فوق؛

F : ارزش آينده (ارزش آتي) ،

P : ارزش فعلي (ارزش حال) ،

i : نرخ بهره و

n : تعداد دوره زماني مي باشد.

مثال1: اگر امروز 150000  ريال با نرخ بهره 12 درصد سرمايه گذاري شود، پس از 4 سال جمع اصل و سود سرمايه گذاري چقدر مي شود؟

   اگر مسئله فوق را بخواهيد با استفاده از جدول حل كنيد، با مراجعه به جدول شماره 1 كتابتان (ارزش آتي يك قسط يك ريالي در دوره  n )، در زير ستون 12% ، عدد مربوط به دوره 4 را بخوانيد. اگر به جدول مزبور نگاه كنيد عدد 5735/1 را مي بينيد. اين عدد حاصل 4( 12% + 1 ) مي باشد. با ضرب اين عدد در 150000 ، همان جواب قبلي، يعني 236025 بدست مي آيد.

در آخر فصل 2 کتاب، 4 تا جدول براي تعيين ارزش زماني پول آورده شده است که مي توانيد با استفاده از آنها ارزش زماني يک واحد پولي را براي نرخهاي مشخص در دوره هاي تعيين شده به دست آوريد. براي مثال چنانچه بخواهيد ارزش آتي يک قسط با نرخ بهره 12% براي دوره 4 ساله را به دست بياوريد، بايد زير نرخ 12% ، مقابل رديف 4 را بخوانيد. در جدول زير، جواب مورد نظر، يعني عدد 5735/1 نشان داده شده است.

ارزش فعلي يک قسط

•اگر رابطه قبلي را بر اساس P بنويسيم، رابطه زير به دست مي آيد که مي توان با استفاده از آن ارزش فعلي يک قسط را محاسبه نمود.

مثال2: اگر 3 سال ديگر به شما 150000  ريال بدهند، با نرخ بهره 12 درصد ارزش فعلي اين پول چقدر است؟

    اگر مسئله فوق را بخواهيد با استفاده از جدول حل كنيد، با مراجعه به جدول شماره 2 كتابتان (ارزش فعلي يك قسط يك ريالي در دوره n )، در زير ستون 12% ، عدد مربوط به دوره 3 را بخوانيد. اگر به جدول مزبور نگاه كنيد عدد 7118/0 را مي بينيد. اين عدد حاصل 4( 12% + 1 )÷ 1 مي باشد. با ضرب اين عدد در 150000 ، همان جواب قبلي، يعني 106770 بدست مي آيد.

مثال3: اگر 3 سال ديگر به  150000  ريال پول نياز داشته باشيد، با نرخ بهره 12 درصد امروز چقدر بايد سرمايه گذاري كنيد تا پس از 3 سال به پول مورد نظر خود برسيد؟

•جواب:

مثال4: با نرخ بهره 10 درصد چند سال طول مي كشد تا 100000 ريال تبديل به 133100 ريال شود؟

براي حل اين مسئله بايد در رابطه زير، اعداد مختلف را بجاي n قرار دهيد تا به جواب مورد نظر برسيد.

•در صورتيكه از طريق آزمايش و خطا رسيدن به جواب مورد نظر مشكل يا طولاني باشد بايد از روش واسطه يابي خطي استفاده كرد. اين روش در قسمتهاي بعدي مورد بحث قرار خواهد گرفت.

•اگر مسئله فوق را بخواهيد با استفاده از جدول حل كنيد، با تقسيم كردن عدد 133100 بر عدد 100000 ريال، عدد 331/1 بدست مي آيد. با مراجعه به جدول شماره 1 كتابتان، در زير ستون 10% ، ببينيد مقابل كداميك از دوره ها عدد 331/1 (يا نزديكترين عدد به 331/1) نوشته شده است. اگر در اين جدول دقت كنيد خواهد ديد اين عدد مربوط به دوره 3 مي باشد.

مثال5: با چه نرخ بـهره اي پـس از 3 سال 100000 ريال تبـديل به 133100 ريال مي شود؟

براي حل اين مسئله بايد در رابطه زير، اعداد مختلف را بجاي  i قرار دهيد تا به جواب مورد نظر برسيد.

•در اين مثال نيز چنانچه از طريق آزمايش و خطا رسيدن به جواب مورد نظر مشكل يا طولاني باشد بايد از روش واسطه يابي خطي استفاده كرد.

•اگر مسئله فوق را بخواهيد با استفاده از جدول حل كنيد، با تقسيم كردن عدد 133100 بر عدد 100000 ريال، عدد 331/1 بدست مي آيد. با مراجعه به جدول شماره 1 كتابتان، در مقابل دوره 3  ببينيد در زير كداميك از ستونها عدد 331/1 (يا نزديكترين عدد به 331/1) نوشته شده است. اگر در اين جدول دقت كنيد خواهد ديد اين عدد مربوط به نرخ 10% مي باشد.

ارزش فعلي (ارزش حال) چند قسط مساوي:

•براي محاسبه ارزش فعلي چند قسط مساوي ، از رابطه زير عامل تنزيل اقساط مساوي را محاسبه نموده و در مبلغ يك قسط ضرب مي كنند:

مثال6: ارزش فعلي 4 قسط مساوي 25000 ريالي با نرخ بهره 10 درصد چقدر مي شود؟

79247 = 1699/3 × 25000

    اگر مسئله فوق را بخواهيد با استفاده از جدول حل كنيد، با مراجعه به جدول شماره 4 كتابتان (ارزش فعلي n  قسط يك ريالي براي n  دوره) در زير ستون 10% مقابل دوره 4 را بخوانيد. با مراجعه به جدول خواهيد ديد كه عدد 1699/3  نوشته شده است.

مثال7: ارزش فعلي 4 قسط مساوي 25000 ريالي با چه نرخ بهره اي 80992 ريال مي شود؟

2397/3 = 25000 ÷ 80992 = x     →     80992 = x × 25000

از طريق آزمايش و خطا عدد 9% براي  i بدست مي آيد.

     چنانچه از طريق آزمايش و خطا رسيدن به جواب مورد نظر مشكل يا طولاني باشد بايد از روش واسطه يابي خطي استفاده كرد.

   اگر مسئله فوق را بخواهيد با استفاده از جدول حل كنيد، با مراجعه به جدول شماره 4 كتابتان در مقابل دوره 4 ببينيد در زير كدام  ستون عدد 2397/3 نوشته شده است. با مراجعه به جدول خواهيد ديد كه اين عدد در زير ستون 9%  نوشته شده است.

مثال8: ارزش فعلي چند قسط مساوي 25000 ريالي با  نرخ بهره  8 درصد 99818 ريال مي شود؟

9927/3 = 25000 ÷ 99818 = x     →     99818 = x × 25000

از طريق آزمايش و خطا عدد 5 براي n  بدست مي آيد.

•چنانچه از طريق آزمايش و خطا رسيدن به جواب مورد نظر مشكل يا طولاني باشد بايد از روش واسطه يابي خطي استفاده كرد. در اين روش، ابتدا بايد جواب را تخمين بزنيد. فرض كنيد جواب اين مسئله را 7 قسط تخمين زده ايد. با بدست آوردن ارزش فعلي 7 قسط مساوي با نرخ بهره 8% ، يعني 2064/5 متوجه مي شويد كه اين عدد از جواب بدست آمده بزرگتر است. لذا عدد كوچكتري مثلا 4 را امتحان مي كنيد. اگر ارزش فعلي 4 قسط مساوي با نرخ بهره 8% را محاسبه كنيد خواهيد ديد كه 3121/3  بدست مي آيد. متوجه مي شويد كه اين عدد از جواب بدست آمده كوچكتر است. از اين دو مورد نتيجه مي گيريد كه جواب مسئله عددي است كه از 7 كوچكتر ولي از 4 بزرگتر است. در اين جا كه عدد بزرگتر و عدد كوچكتر از جواب مورد نظر را بدست آورده ايد، معادله بصورت زير تشكيل دهيد:

                                    2064/5                           7
                                    9927/3                       X + 4
                                    3121/3                           4
اكنون تفاوت اعداد بالائي و پائيني هر كدام از ستونهاي فوق را در صورت دو كسر و تفاوت اعداد وسطي با اعداد پائيني را در مخرج دو كسر نوشته و آن دو كسر را مساوي قرار دهيد جواب  X  بدست خواهد آمد. بصورت زير:

در نتيجه براي X حدودا عدد 1 بدست مي آيد. لذا حاصل  X + 4 برابر 5 خواهد شد و 5 جواب مورد نظر مي باشد.

اگر مسئله فوق را بخواهيد با استفاده از جدول حل كنيد، با مراجعه به جدول شماره 4 كتابتان، در زير ستون 8%  ببينيد در مقابل كدام دوره عدد 9927/3  نوشته شده است. اگر دقت كنيد خواهيد ديد در مقبل دوره 5 نوشته شده است.

مثال9: ارزش فعلي 6  قسط مساوي چند ريالي با  نرخ بهره 8 درصد 83212  ريال مي شود؟

18000 = 6229/4 ÷ 83212 = x    →   83212 = x × 6229/4

•اگر مسئله فوق را بخواهيد با استفاده از جدول حل كنيد، با مراجعه به جدول شماره 4 كتابتان عدد مندرج در زير ستون 8% مقابل دوره 6 را بخوانيد. با مراجعه به جدول خواهيد ديد كه عدد 6229/4  نوشته شده است. با تقسيم كردن عدد 83212 بر عدد بدست آمده از جدول جواب مورد نظر يعني 18000 بدست خواهد آمد.

ارزش آتي (ارزش آينده) چند قسط مساوي

•براي محاسبه ارزش آتي چند قسط مساوي، از رابطه زير، عامل مرابحه اقساط مساوي را محاسبه نموده و در مبلغ يك قسط ضرب مي كنند:

مثال10: ارزش آتي 4 قسط مساوي 25000 ريالي با نرخ بهره 10 درصد چقدر مي شود؟

116025 = 641/4 × 25000

•اگر مسئله فوق را بخواهيد با استفاده از جدول حل كنيد، با مراجعه به جدول شماره 3 كتابتان (ارزش آتي n  قسط يك ريالي براي n  دوره) در زير ستون 10% مقابل دوره 4 را بخوانيد. با مراجعه به جدول خواهيد ديد كه عدد 641/4  نوشته شده است. با ضرب كردن اين عدد در 25000 جواب مسئله، يعني 116025 بدست خواهد آمد.

ارزش فعلي و ارزش آتي چند قسط نامساوي (جريانهاي نقدينه متغير)

•براي محاسبه ارزش فعلي و يا ارزش آتي چند قسط نامساوي، از همان روابط مورد استفاده در قسمت ارزش فعلي و ارزش آتي يك قسط استفاده مي شود.

مثال11: در صورتيكه وجوه دريافتي يك شخص در پايان سال اول 5000 ريال، سال دوم 8500 ريال، سال سوم 7000 ريال و سال چهارم 12000 ريال باشد، ارزش فعلي آنها با نرخ بهره 10 درصد چقدر مي شود؟
براي حل اين مسئله بايد ارزش فعلي هركدام از اعداد را بدست آوريم و سپس اعداد بدست آمده را با هم جمع كنيم.

25025 = 8196 + 5259 + 7025 + 4545

مي توان تمام موارد فوق را بصورت زير بطور يكجا محاسبه كرد:

مثال12: با توجه به اطلاعات مثال 11 ارزش آتي وجوه دريافتي پس از گذشت 4 سال از تاريخ دريافت اولين قسط، چقدر مي شود؟

•براي حل اين مسئله بايد ارزش آتي هركدام از اعداد را بدست آوريم و سپس اعداد بدست آمده را با هم جمع كنيم.

42671 = (10%+1) 12000 + 2(10%+1) 7000 + 3(10%+1) 8500 + 4(10%+1) 5000

ارزش فعلي جريانهاي نقدينه داراي نرخ رشد:

      در اين درس، ارزش فعلي جريانهاي نقدينه داراي نرخ رشد در 2 حالت مورد بحث قرار مي گيرد:

•حالت اول: نرخ رشد با نرخ بهره برابر است.

•حالت دوم: نرخ رشد با نرخ بهره برابر نيست.

حالت اول: نرخ رشد با نرخ بهره برابر است.

در صورتيكه نرخ رشد با نرخ بهره برابر باشد، براي محاسبه ارزش فعلي چند قسط كه داراي نرخ رشد هستند، از رابطه زير استفاده مي شود:

     در اين رابطه n بيانگر تعداد اقساط و F1  بيانگر مبلغ قسط اول مي باشد.

     مثال13: آقاي نيكان در ابتداي سال 1382 برنده جايزه اي از بانك شده است كه بموجب آن در تاريخ مذكور 40000 ريال به ايشان پرداخت مي شود و سپس به مدت 8 سال، سالانه 10 درصد به مبلغ جايزه سال قبل افزوده شده و به ايشان پرداخت مي شود. در صورتيكه نرخ بهره رايج در بازار نيز 10 درصد باشد، ارزش فعلي اين جايزه چقدر است؟

حالت دوم: نرخ رشد با نرخ بهره برابر نيست.
در صورتيكه نرخ رشد با نرخ بـهره برابر نباشد، براي محاسبه ارزش فعلي چند قسط كه داراي نرخ رشد هستند، از رابطه زير استفاده مي شود:

      در فرمول فوق g  نرخ رشد جريانهاي نقدينه مي باشد.

    مثال14: با توجه به اطلاعات مثال 13 در صورتيكه نرخ بهره رايج در بازار 12 درصد باشد، ارزش فعلي جايزه چقدر است؟

تمرينها:
1 ـ با فرض نرخ بهره 25/1% در ماه چه مقدار بايد هر ماه قسط پرداخت شود تا وام 2000 واحد پولي در 18 ماه مستهلك شود؟

      اين مسئله مانند مثال 9 متن فوق است. براي حل اين مسئله بايد ارزش فعلي 18 قسط A ريالي كه با نرخ بهره 25/1% برابر 2000 واحد پولي مي باشد را محاسبه كنيد. اگر جدولي مانند جدول شماره 4 كتابتان در اختيار داريد كه با استفاده از مي توانيد ارزش فعلي 18 قسط يك ريالي با نرخ بهره 25/1% را بدست آوريد، عدد مندرج در زير 25/1% و دوره 18 را از جدول بدست آورده و 2000 را بر آن تقسيم كنيد. در جدول مذكور اين عدد 16 است. اگر 2000 را بر 16 تقسيم كنيد مبلغ هر قسط 125 بدست مي آيد. اگر جدول در اختيار نداريد، بصورت زير عمل كنيد:  

                                      2000 = A ×(25/1%= i و 18= n )A / P

2 ـ فرض كنيد كه 20000 واحد پولي را با نرخ 12% سرمايه گذاري مي كنيد. اگر بخواهيد هر سال 3540 واحد پولي از اصل و فرع را برداشت و خرج كنيد، اصل و فرع چند سال مخارج شما را تامين خواهد كرد؟

•اين مسئله مانند مثال 8 متن فوق است. در اين مسئله بايد تعيين كنيد كه ارزش فعلي چند قسط 3540 واحد پولي با نرخ 12% برابر 20000 واحد پولي مي شود. اين مسئله مانند مسئله قبل است با اين تفاوت كه در مسئله قبل مبلغ قسط مجهول بود اما در اين مسئله تعداد دوره مجهول است.

3 ـ ارزش يك سند قرضه در حال حاضر 930 واحد پولي است و در سررسيد آن كه يك سال بعد از زمان حال است، 1000 واحد پولي به دارنده پرداخت مي شود، نرخ بهره سالانه يا نرخ بازده آن را محاسبه كنيد.

     در اين مسئله ارزش فعلي (930 واحد پولي) و ارزش آتي (1000 واحد پولي) و همچنين تعداد دوره (يك سال) مشخص است ولي نرخ بهره مجهول است. يعني:

1000= ( i +1 ) 930

4 ـ ارزش يك سند قرضه امروز قيمتي برابر 950 واحد پولي دارد و در سررسيد آن كه شش ماه ديگر است، 1000 واحد پولي به دارنده پرداخت مي شود، نرخ بهره سالانه يا نرخ بازده (سالانه) آن را محاسبه كنيد.
                                             1000 = (i +1)950

نرخ 26/5% مربوط به يك دوره 6 ماهه است لذا نرخ بازده يكساله 2 برابر 26/5% يعني 5/10 است.

5 ـ يك سهم عادي سه سال قبل به قيمت 20 واحد پولي خريداري شده و امروز به همان 20 واحد پولي فروخته شده است. در آخر هر سال 5/1 واحد پولي به صاحب سهم، سود سهام نقدي پرداخت شده است. نرخ بهره سالانه چقدر است؟

•در اين مسئله چون قيمت اول دوره و آخر دوره سهام يكسان است و سود هر دوره نيز برابر است، با تقسيم 5/1 بر 20 مي توان نرخ بازده را بدست آورد.

 5/7% = 20 ÷ 5/1

6 ـ ارزش آتي سرمايه گذاري سالانه 100 واحد پولي از آخر سال اول به مدت 5 سال با فرض نرخ بهره 8% چه مقدار مي باشد؟

F = 100 × (8%= i و 5 = n )A / F

•با استفاده از جدول شماره 3 كتاب (ارزش آتي چند قسط يك ريالي)، ارزش آتي 5 قسط يك ريالي با نرخ 8% معادل 8666/5 مي باشد. لذا خواهيم داشت:

587 = 8666/5 × 100

•اگر جدول نداشته باشيد ارزش آتي 5 قسط يك ريالي با نرخ 8% را بصورت زير محاسبه كنيد:

7 ـ اگر امروز 1000 واحد پولي در يك حساب پس انداز كه 8% در سال بهره مي دهد سپرده گذاري كرده و هيچ برداشتي نداشته باشيد، پس از 6 سال چه مقدار در حساب شما پول وجود خواهد داشت؟

 F = P (1+i)n

1587 = 6(8% + 1) 1000

چند نمونه سئوال امتحاني
1 ـ شخصي برنامه ريزي كرده است كه طي 3 سال آينده سالي 1000 ريال پس انداز كند. پس انداز ايشان سالانه 15 درصد سود دريافت مي كند. پس از 3 سال چقدر مي تواند از بانك برداشت كند؟

•براي پاسخ به اين سئوال بايد ارزش آتي 3 قسط 1000 با سود 15% محاسبه شود.

•با استفاده از جدول شماره 3 كتاب، عدد مندرج در زير ستون 15% مقابل دوره 3 را بايد در عدد 1000 ضرب كنيد. خواهيم داشت:

3473 = 1000 ×  4725/3

2- فرض كنيد نرخ بهره 17 درصد است. سرمايه گذار براي اوراق بهاداري كه يكسال ديگر 20000 ريال پرداخت مي كند امروز بايد چه مبلغي بپردازد؟

17094 = 17/1 ÷ 20000

3 ـ اگر 10000 واحد پولي را با نرخ 17 درصد در سال سرمايه گذاري كنيد، پس از سه سال چقدر پول خواهيد داشت؟

16016 = 3(17% + 1) × 10000

4 ـ آقاي كريمي در ابتداي سال 1379 مبلغ (دويست هزار) 200000 واحد پولي را در بانك الف سرمايه گذاري كرد. در پايان سال 1382 پول نامبرده به 314704 رسيد. سود سالانه حاصل از اين سرمايه گذاري چقدر بوده است؟

314704 = 4( i  + 1) × 200000

5735/1 = 200000 ÷ 314704

•اگر جدول شماره 1 را در اختيار داشته باشيد، خواهيد ديد كه 5735/1 در مقابل دوره 4 زير 12 درصد واقع شده است (جدول شماره 1 را در اسلايد بعدي ببينيد). لذا سود سالانه اين سرمايه گذاري 12% است.

5 ـ آقاي حسيني مي تواند پول خود را با نرخ 17 درصد سرمايه گذاري كند. ايشان پس از سه سال به (پانصد هزار) 500000 واحد پولي نياز دارد. اكنون ايشان بايد چه مبلغي سرمايه گذاري كند تا به مبلغ مورد نظر خود در سه سال بعد برسد؟

500000 = 3( 17% + 1) × P

500000 = 6016/1 × P

312185 = 6016/1 ÷ 500000